pertidaksamaan rasional

Pertidaksamaan Rasional : Pengertian, Sifat, Langkah-langkah dan Contoh Soal

Leave a Comment / Matematika 10 / By

GuruOnlinee.com – Halo sobat cerdas, dalam artikel ini kita akan membahas tentang Pertidaksamaan Rasional. Apa sih itu Pertidaksamaan Rasional? Bagaimana bentuk umum Pertidaksamaan Rasional? Apa saja sifat-sifat Pertidaksamaan Rasional? Lalu bagaimana Langkah-langkah dalam menyelesaikan soal Pertidaksamaan Rasional? Untuk mengetahuinya, yuk simak penjelasan berikut!

A. Pengertian Pertidaksamaan Rasional

Pertidaksamaan rasional adalah bentuk pertidaksamaan yang berbentuk pecahan yang memiliki variabel di bagian pembilang dan penyebut atau di penyebutnya saja. Pertidaksamaan rasional umumnya memuat fungsi rasional f(x) dan g(x). Pertidaksamaan memiliki tanda “<”, “>”, “≤”, dan “≥” serta garis bilangan. Adapun contoh pertidaksamaan rasional adalah sebagai berikut :

\frac{x-4}{x-1}\geqslant 0

Pecahan diatas memuat variabel x pada pembilang dan penyebutnya, dan menggunakan tanda ≥, maka pecahan tersebut termasuk Pertidaksamaan Rasional.

Pertidaksamaan rasional memiliki empat tipe dengan karakteristik masing-masing. Berikut tipe-tipe Pertidaksamaan rasional beserta contohnya:

1. Pertidaksamaan Rasional Linear

\frac{x-4}{x-1}\geqslant 0

2. Pertidaksamaan Rasional Kuadrat

\frac{x^2-4}{x^2-3x-10}\geqslant 0

3. Pertidaksamaan Rasional Mutlak

\left |\frac{2x-4}{x-1}\right |<3

4. Pertidaksamaan Rasional Linear Kuadrat

\frac{x-3}{x+2}\leq \frac{x+2}{x-3}

B. Bentuk Umum Pertidaksamaan Rasional

Berikut bentuk umum pertidaksamaan rasional :

\frac{f(x)}{g(x)}> 0 \,\,\,\text{atau} \,\,\,\frac{f(x)}{g(x)}\geqslant 0

\frac{f(x)}{g(x)}<0 \,\,\,\text{atau} \,\,\,\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0

Pertidaksamaan rasional berbentuk pecahan, olehnya itu penyebut tidak boleh 0 (g(x) ≠ 0).

C. Sifat-sifat Pertidaksamaan Rasional

Berikut sifat-sifat pertidaksamaan rasional:

\frac{f(x)}{g(x)}> 0 \rightarrow f(x) \cdot g(x)>0 \,\,\, \text{dengan}\,\,\, g(x) \neq0

\frac{f(x)}{g(x)}< 0 \rightarrow f(x) \cdot g(x)<0 \,\,\, \text{dengan}\,\,\, g(x) \neq0

\frac{f(x)}{g(x)}\geq 0 \rightarrow f(x) \cdot g(x)\geq0 \,\,\, \text{dengan}\,\,\, g(x) \neq0

\frac{f(x)}{g(x)}\leq 0 \rightarrow f(x) \cdot g(x)\leq0 \,\,\, \text{dengan}\,\,\, g(x) \neq0

D. Langkah-langkah Menyelesaikan Pertidaksamaan Rasional

Berikut langkah-langkah yang dapat dilakukan dalam menyelesaikan soal-soal pertidaksamaan rasional:

  1. Dengan mengacu pada bentuk umum, maka ruas kanan pertidaksamaan harus sama dengan nol. Artinya, semua bilangan di ruas kanan harus dipindah ke ruas kiri, sehingga ruas kanannya sama dengan nol.
  2. Apabila fungsi pembilang atau fungsi penyebut berupa polinomial derajat lebih dari 1, maka lakukan pemfaktoran.
  3. Tentukan titik kritis atau pembuat nol fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya.
  4. Titik pembuat nol yang diperoleh dari langkah ke-3, digambarkan pada garis bilangan untuk memperoleh nilai interval penyelesaian.
  5. Tentukan daerah positif atau negatif dengan cara melakukan substitusi pada salah satu bilangan di setiap interval ke dalam pertidaksamaan awalnya. Jika substitusi bilangan menghasilkan bilangan positif, berilah tanda (+). Jika substitusi tersebut menghasilkan bilangan negatif, berilah tanda (-).
  6. Tentukan daerah penyelesaian dengan cara menyesuaikan tanda pada interval dengan tanda pertidaksamaan. Misalnya, jika tanda pertidaksamaannya “>0”, maka kita harus mencari nilai interval yang tandanya (+). Daerah interval yang tandanya sesuai dengan tanda pertidaksamaan disebut sebagai daerah penyelesaian.

E. Contoh Soal

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut!

\frac{2x-1}{3x+2}\geqslant 2

Penyelesaian:

Pertama-tama buat ruas kanan menjadi sama dengan nol.

\frac{2x-1}{3x+2}\geqslant 2

\frac{2x-1}{3x+2}-2\geqslant 0

\frac{2x-1}{3x+2}-\frac{2(3x+2)}{3x+2}\geqslant 0

\frac{2x-1-6x-4}{3x+2}\geqslant 0

\frac{-4x-5}{3x+2}\geqslant 0

Ruas kanan sudah sama dengan nol, dan bentuk fungsi pembilang dan penyebutnya tidak berbentuk polinomial sehingga langkah berikutnya dapat langsung dilakukan dengan menentukan pembuat nolnya, yaitu:

-4x-5=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, x=-\frac{5}{4}

3x+2\neq 0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\, x\neq-\frac{2}{3}

Langkah selanjutnya adalah dengan membuat garis bilangan yang memuat beberapa daerah yang dibatasi oleh titik kritis yang telah diperoleh pada langkah sebelumnya. Sebagai catatan : apa bila titik kritis tidak termasuk (yang ditandai degan tanda “<” atau “>” ) maka digambarkan dengan tanda bulatan kosong.

garis bilangan 1

Langkah selanjutnya adalah dengan menentukan tanda masing-masing daerah pada garis bilangan dengan melakukan pengujian.

Pada garis bilangan di atas, kita peroleh tiga daerah, yaitu x ≤-(5/4) kita sebut saja “daerah kiri”,  daerah  -(5/4)≤ x < (-2/3)  kita sebut sebagai “daerah tengah” dan daerah x > (-2/3)  kita sebut sebagai “daerah kanan”.

Pada masing-masing daerah tersebut kita ambil sembarang angka penguji, misal untuk daerah kiri x ≤-(5/4) kita ambil x=-2, untuk daerah tengah -(5/4)≤ x < (-2/3) kita ambil x=-1, dan untuk daerah kanan x > (-2/3) saya ambil x=0 sebagai penguji. Dengan mensubstitusi titik-titik penguji tersebut ke fungsi rasional \frac{-4x-5}{3x+2} maka kita peroleh:

Daerah kiri :

\frac{-4(-2)-5}{3(-2)+2}=\frac{3}{-4} =-\frac{3}{4}\,\,\,\text{bernilai negatif}

Daerah tengah :

\frac{-4(-1)-5}{3(-1)+2}=\frac{-1}{-1} =\frac{1}{1}\,\,\, \text{bernilai positif}

Daerah kanan :

\frac{-4(0)-5}{3(0)+2}=\frac{-5}{2} =-\frac{5}{2}\,\,\, \text{bernilai negatif}

Kita peroleh :

garis daerah pertidaksamaan rasional

Langkah selanjutnya adalah dengan menentukan himpunan penyelesaian dengan memperhatikan tanda pertidaksamaan dan tanda pada garis bilangan.

Pertidaksamaan \frac{-4x-5}{3x+2}\geqslant 0 memiliki tanda ≥, yang berarti bahwa himpunan penyelesaiannya bertanda positif.

daerah penyelesaian pertidaksamaan rasional

Maka himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan \frac{2x-1}{3x+2}\geqslant 2 adalah {x|-\frac{5}{4}\leq x< \frac{2}{3},x\in R}

Demikianlah pembahasan kita mengenai Pertidaksamaan Rasional. Terima kasih, semoga bermanfaat.

Untuk memahami matematika lebih dalam, yuk baca berbagai materi Matematika SMA pada halaman website ini dengan mengklik: Materi Matematika SMA

Related Posts

Leave a Reply