sifat sifat turunan beserta contoh

Sifat-sifat Turunan beserta 7 Contoh Soal

Leave a Comment / Matematika 11 / By

Guruonlinee.com – Halo sobat cerdas, dalam artikel ini kita akan membahas tentang Sifat-sifat Turunan beserta Contoh Soal. Apa sih itu turunan? Apa saja sifat-sifat turunan? Lalu bagaimana menjawab soal-soal Turunan? Untuk mengetahuinya, yuk simak penjelasan berikut:

A. Pengertian Turunan

Turunan adalah perubahan rata-rata nilai fungsi f terhadap x dalam domain, dimana x-nya bernilai:

c\le x \le c+h

Turunan fungsi f pada x=c dirumuskan dengan :

f'(c)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(c+h)-f(c)}{h}

Turunan disebut juga dengan diferensial. Dalam bahasa Indonesia, diferensial disebut dengan turunan karena ketika suatu fungsi di-diferensiasi maka fungsi tersebut akan turun atau berkurang 1, misalnya suatu fungsi awal berderajad tiga, namun setelah diturunkan satu kali maka fungsi tersebut akan menjadi berderajad dua.

Perhatikan grafik turunan berikut :

grafik turunan

Turunan identik dengan perubahan, karena ketika kita berbicara tentang turunan berarti kita sedang berbicara tentang sesuatu yang sedang berubah. Perhatikan gambar diatas, gambar tersebut merupakan gambar suatu grafik yang mengalami perubahan yang terus menerus, ketika x-nya berubah maka y-nya juga ikut berubah, sesuai dengan fungsinya.

B. Sifat-sifat Turunan Fungsi Aljabar

1. Jika f(x)=c, dimana c adalah konstanta, maka turunannya adalah f'(x)=0

Contoh:

f(x)=3 \to f'(x)=0

f(x)=12 \to f'(x)=0

f(x)=199 \to f'(x)=0

2. Jika f(x)=cx, maka turunannya adalah f'(x)=c

Contoh:

f(x)=3x \to f'(x)=3

f(x)=12x \to f'(x)=12

f(x)=199x \to f'(x)=199

3. Jika f(x)=x^n, maka turunannya adalah f'(x)=nx^{n-1}

Contoh:

f(x)=x^2 \to f'(x)=2x

f(x)=x^3 \to f'(x)=3x^2

f(x)=x^5 \to f'(x)=5x^4

4. Jika f(x)=cx^n, maka turunannya adalah f'(x)=cx^{n-1}

Contoh:

f(x)=3x^2 \to f'(x)=6x

f(x)=4x^3 \to f'(x)=12x^2

f(x)=5x^5 \to f'(x)=25x^4

5. Jika f(x)=c u(x), maka turunannya adalah f'(x)=c u'(x)

Contoh:

f(x)=3 \sin x \to f'(x)=3 \cos x

f(x)=4 \cos x \to f'(x)= -4 \sin x

f(x)=5 ln x\to f'(x)= 5 \frac{1}{x}

6. Jika f(x)=u(x)\pm v(x), maka turunannya adalah f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Contoh:

f(x)=x+x^2 \to f'(x)=1+2x

f(x)=x^2+x^3 \to f'(x)=2x+3x^2

f(x)=\sin x +\cos x\to f'(x)=\cos x - \sin x

7. Jika f(x)=u(x)\cdot v(x), maka turunannya adalah f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + v'(x)\cdot u(x)

Contoh:

f(x)=x^2x^3 \to f'(x)=\, .\, .\, .\, ?

Misal :

u(x)=x^2 \to u'(x)=2x

v(x)=x^3 \to v'(x)=3x^2

Maka:

f'(x)=u'(x)\cdot v(x) + v'(x)\cdot u(x)

f'(x)=2x\cdot x^3 + 3x^2\cdot x^2

f'(x)=2x^4+3x^4

8. Jika f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, maka turunannya adalah f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x) - v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^2}

Contoh :

f(x)=\frac{x^2}{x^3} \to f'(x)=.\,.\,.\,.?

Misal:

u(x)=x^2 \to u'(x)=2x

v(x)=x^3 \to v'(x)=3x^2

Maka:

f'(x)=\frac{u'(x)\cdot v(x) - v'(x)\cdot u(x)}{(v(x))^2}

f'(x)=\frac{2x\cdot x^3 - 3x^2\cdot x^2}{(x^3)^2}

f'(x)=\frac{2 x^4 - 3x^4}{x^6}

f'(x)=\frac{-x^4}{x^6}

f'(x)=-\frac{1}{x^2}

9. Jika f(x)=u(x)^n, maka turunannya adalah f'(x)=n\cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)

Contoh:

f(x)=(2x+x^3)^5 \to f'(x)=.\,.\, .\, . ?

Misal:

u(x)=(2x+x^3)\to u'(x)=(2+3x^2)

n=5

Maka:

f'(x)=n\cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)

f'(x)=5\cdot (2x+x^3)^{5-1} \cdot (2+3x^2)

f'(x)=5\cdot (2+3x^2) (2x+x^3)^{4}

C. Sifat-sifat Turunan Logaritma Natural

Berikut merupakan sifat-sifat turunan logaritma natural:

sifat sifat turunan logaritma natural

D. Sifat-sifat Turunan Trigonometri

Berikut merupakan sifat-sifat dasar turunan trigonometeri:

f(x)=\sin x \to f'(x)=\cos x

f(x)=\cos x \to f'(x)=-\sin x

f(x)=\tan x \to f'(x)=\sec ^2 x

f(x)=\cot x \to f'(x)=-\csc ^2 x

f(x)=\sec x \to f'(x)=\sec x \cdot \tan x

f(x)=\csc x \to f'(x)=-\csc x \cdot \cot

Berikut merupakan sifat-sifat perluasan turunan fungsi trigonometeri:

f(x)=\sin g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot \cos g(x)

f(x)=\cos g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot -\sin g(x)

f(x)=\tan g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot \sec ^2 g(x)

f(x)=\cot g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot -\csc ^2 g(x)

f(x)=\sec g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot \sec g(x)\cdot \tan g(x)

f(x)=\csc g(x) \to f'(x)=g'(x) \cdot -\csc g(x)\cdot \cot g(x)

Aturan rantai turunan trigonometri:

f(x)=\sin ^n g(x) \to f'(x)=n\cdot \sin^{n-1}g(x) \cdot \cos g(x) \cdot g'(x)

E. Contoh Soal

Soal 1

1. Tentukan turunan dari f(x)=5x+2 !

Penyelesaian:

f(x)=5x+2 \to f'(x)=.\, .\, . ?

Bentuk fungsi tersebut adalah f(x)=u(x)\pm v(x), maka rumus turunannya adalah :

f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Sehingga:

f(x)=5x+2

f'(x)=5

Soal 2

2. Tentukan turunan dari f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{3}x^2+2x-4!

Penyelesaian:

f(x)=\frac{1}{6}x^3-\frac{1}{3}x^2+2x-4 \to f'(x)=\, .\, .\, .?

Bentuk fungsi tersebut adalah f(x)=u(x)\pm v(x), maka rumus turunannya adalah :

f'(x)=u'(x)\pm v'(x)

Sehingga:

f'(x)=3\cdot \frac{1}{6}x^{3-1}-2\cdot \frac{1}{3}x^{2-1}+2

f'(x)= \frac{1}{2}x^{2}- \frac{2}{3}x+2

Soal 3

3. Tentukan turunan dari f(x)=4(2x+1)^6!

Penyelesaian :

f(x)=4(2x+1)^6 \to f'(x)=\, .\, .\, . ?

Bentuk turunan tersebut adalahf(x)=\sin g(x) maka rumus turunannya adalah :

f'(x)=n\cdot u(x)^{n-1} \cdot u'(x)

Misal:

u(x)=(2x+1) \to u'(x)=2

n=6

Maka:

f'(x)=6\cdot (2x+1)^{6-1} \cdot 2

f'(x)=12(2x+1)^5

Soal 4

4. Tentukan turunan pertama dari f(x)=(2x+3)(2x^3+5) !

Pembahasan :

f(x)=(2x+3)(2x^3+5)

Misal :

U=(2x+3) \longrightarrow U'=2

V=(2x^3+5) \longrightarrow V'=6x^2

Maka :

f(x)=U\cdot V

f'(x)=U'V+V'U

f'(x)=2(2x^3+5)+6x^2(2x+3))

f'(x)=4x^3+10+12x^3+18x^2

f'(x)=16x^3+18x^2+10

Soal 5

5. Tentukan turunan pertama dari f(x)=\frac{2x+3}{3x+4} !

Pembahasan :

f(x)=\frac{(2x+3)}{(3x+4)}

Misal :

U=(2x+3) \longrightarrow U'=2

V=(3x+4) \longrightarrow V'=3

Maka :

f(x)=\frac{U}{V}

f'(x)=\frac{U'V-V'U}{V^2}

f'(x)=\frac{(2)(3x+4)-(3)(2x+3)}{(3x+4)^2}

f'(x)=\frac{6x+8-6x-9)}{(3x+4)(3x+4)}

f'(x)=\frac{-1}{(9-3x-3x+x^2)}

f'(x)=\frac{-1}{9x^2+12x+12x+16}

f'(x)=-\frac{1}{9x^2+24x+16}

Soal 6

6. Tentukan turunan pertama dari f(x)= \sin (3x+5)!

Penyelesaian:

f(x)= \sin (3x+5) \to f'(x)=.\, .\, . ?

Bentuk fungsi tersebut adalah f(x)=\sin g(x), maka rumus turunannya adalah :

f'(x)=g'(x) \cdot \cos g(x) ]

Misal:

g(x)=(3x+5) \to g'(x)=3

Maka:

f'(x)= 3\cdot \cos (3x+5)

Soal 7

7. Tentukan turunan pertama dari f(x)= \sin ^6 (3x)!

Penyelesaian:

f(x)= \sin ^6 (3x) \to f'(x)=.\, .\, . ?

Bentuk fungsi tersebut adalah f(x)=\sin ^n g(x), maka rumus turunannya adalah :

f'(x)=n\cdot \sin^{n-1}g(x) \cdot \cos g(x) \cdot g'(x)

Misal:

g(x)=(3x) \to g'(x)=3

n=6

Maka:

f'(x)= 6 \cdot \sin ^{6-1} (3x) \cdot \cos (3x) \cdot 3

18\cdot \sin^5 (3x) \cos (3x)

Demikianlah pembahasan kita terkait Sifat-sifat Turunan. Terima kasih, Semoga bermanfaat.

Untuk memahami matematika lebih dalam, yuk baca berbagai materi Matematika SMA pada halaman website ini dengan mengklik: Materi Matematika SMA

Related Posts

Leave a Reply

Get 30% off your first purchase

Got it!
X