Aplikasi Turunan beserta Contoh Soal

Guruonlinee.com – Halo sobat cerdas, dalam artikel ini kita akan membahas tentang Aplikasi Turunan beserta Contoh Soalnya. Apa sih itu Turunan? Apa saja Aplikasi Turunan? Bagaimana penggunaan Turunan dalam kehidupan? Lalu bagaimana menjawab soal-soal terkait Aplikasi Turunan? Untuk mengetahuinya, yuk simak penjelasan berikut:

A. Pengertian Turunan

Turunan fungsi adalah suatu fungsi baru yang muncul setelah dilakukan penurunan terhadap suatu fungsi f. Turunan dikenal juga dengan istilah diferensial, sementara proses dalam menentukan turunan suatu fungsi disebut sebagai diferensiasi.

Suatu fungsi yang diturunkan sebanyak satu tingkatan disebut dengan turunan pertama, misalnya suatu fungsi memiliki derajad awal sebesar tiga, namun setelah diturunkan satu kali maka fungsi tersebut menjadi berderajad dua. Contoh :

Apabila ditinjau dari sudut pandang garis, maka definisi dari turunan adalah gradien garis singgung terhadap grafik di titik tertentu. Namun, jika dipandang dengan menggunakan konsep limit, maka defenisi turunan dapat dituliskan dengan:

Perhatikan gambar berikut:

Turunan identik dengan perubahan, perhatikan bahwa grafik diatas selalu mengalami perubahan setiap saat, ketika x nya berubah maka y nya juga berubah, sesuai dengan fungsi dari turunan tersebut.

Sebagai contoh, Anda menempuh perjalan dari kota A menuju kota B dengan jarak 100 km dalam waktu 2 jam, menurut perhitungan anda, kecepatan motor anda adalah 50 km/jam. Lalu apakah anda dapat mempertahankan kecepatan tersebut setiap saat? Tentu saja tidak, adakalanya anda berkendara dibawah 50 km/jam dan adakalanya diatas 50 km/jam. Namun yang pasti anda berkendara dengan kecepatan rata-rata sebesar 50 km/jam.

Dari contoh diatas, dapat dianalisis lebih dalam bahwa posisi dapat berubah seiring perubahan waktu, untuk perubahan waktu yang sangat kecil atau mendekati nol  (h → 0), maka muncul yang namanya kecepatan sesaat, yang dituliskan dengan :

Persamaan diatas merupakan bentuk laju perubahan jarak terhadap waktu atau dengan kata lain adalah turunan fungsi jarak terhadap waktu. Persamaan tersebut memenuhi atau sama dengan definisi dari turunan menurut konsep limit.

Berikut sifat-sifat turunan:

B. Aplikasi Turunan

Matematika bukan hanya sekedar hitung-menghitung, bukan sekedar pengetahuan tanpa manfaat. Tetapi matematika merupakan induk dari segala ilmu, karena hampir seluruh lini kehidupan manusia memanfaatkan Matematika. Tidak terkecuali materi Turunan. Berikut penjelasan mengenai aplikasi atau penggunaan turunan dalam kehidupan.

1. Menentukan Interval Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Turunan dapat digunakan untuk menentukan fungsi naik dan fungsi turun suatu fungsi f. Fungsi f dapat dikatakan fungsi naik dan dapat pula dikatakan fungsi turun, tergantung dari nilai hasil penurunan fungsi tersebut. Perhatikan gambar berikut :

Contoh Soal

Interval x yang membuat kurva fungsi selalu turun adalah . . . .

Penyelesaian:

Kurva f(x) akan selalu turun jika diberi syarat

Sehingga:

Kedua ruas dibagi 3

Jadi, interval x yang membuat kurva fungsi selalu turun adalah

2. Menentukan Nilai Maksimum dan Nilai Minimum Fungsi

Turunan dapat juga diaplikasikan atau digunakan untuk menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi. Fungsi f dapat dikatakan fungsi maksimum dapat pula dikatakan fungsi minimum, tergantung dari hasil penurunan fungsi tersebut. Nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f dapat ditentukan dengan uji turunan pertama atau uji turunan kedua.

Contoh Soal

Seorang anak berencana membuat sebuah tabung dengan alas berbentuk lingkaran dengan bahan yang berbeda. Tabung yang akan dibuat harus mempunyai volume 43.120 cm³. Biaya pembuatan alas adalah Rp. 150 per cm², biaya pembuatan selimut tabung adalah Rp. 40 per cm², sementara biaya pembuatan atap adalah Rp. 50 per cm². Berapakah biaya minimal yang harus disediakan anak tersebut?

Penyelesaian:

Perhatikan sketsa tabung yang akan dibuat seperti pada gambar dibawah:

Misalkan r adalah jari-jari atap dan alas tabung, serta t adalah tinggi tabung dengan

Biaya = (Luas alas x Biaya alas)+(Luas selimut x Biaya selimut)+(Luas atap x Biaya atap)

Biaya =

Biaya =

Biaya =

Atau dapat ditulis menjadi :

Agar didapat nilai fungsi minimum, maka B'(r)=0

Karena dan maka titik nilai minimumnya

Sehingga biaya minimal yang harus disediakan adalah :

Jadi, biaya minimum yang harus disediakan adalah Rp. 396.600.

3. Menentukan Kecepatan dan Percepatan

Penggunaan turunan juga dimanfaatkan dalam bidang fisika untuk menentukan kecepatan dan percepatan. Kecepatan dapat ditentukan dengan menurungkan suatu fungsi f sebanyak 1 kali (turunan pertama), sedangkan untuk menentukan percepatan dapat ditentukan dengan menurungkan fungsi f sebanyak 2 kali (turunan kedua). Dimana fungsi awal merupakan fungsi posisi.

Contoh Soal

Tentukanlah kecepatan dan percepatan benda dengan fungsi posisi terhadap waktu !

Penyelesaian:

Posisi :

Kecepatan :

Percepatan :

Demikianlah pembahasan kita terkait Aplikasi Turunan. Terima kasih, Semoga bermanfaat.

Baca juga :

Konsep Turunan Fungsi Aljabar

Sifat-sifat Turunan

Contoh Soal Turunan

Untuk memahami matematika lebih dalam, yuk baca berbagai materi Matematika SMA pada halaman website ini dengan mengklik: Materi Matematika SMA